Elektrotechnika III

3.2

Kondenzátor v obvodu střídavého proudu

3.2.1

Teoretický úvod

Základní vlastnosti obvodových veličin:

Základními obvodovými veličinami je napětí U[V] a proud I[A].

Napětí a proudy jsou v čase proměnné, nejčastěji s periodickou změnou (periodické).

Elektrický proud protéká pouze v uzavřeném elektrickém obvodu.

Základní vlastnosti obvodových prvků:

Elektronické obvody tvoří zdroje a spotřebiče.

Kondenzátor se ve střídavých obvodech chová jako rezistor, u kterého je hodnota odporu (impedance) frekvenčně závislá.

Základní definiční vztahy:

Odpor kondenzátoru → impedance kondenzátoru Z_C:

Z_{C} = - j \frac{1}{X_{C}} = \frac{1}{j X_{C}}

Sériové zapojení dvou kondenzátorů:

\frac{1}{C_{V}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} = \frac{C_{2} + C_{1}}{C_{1} \cdot C_{2}}

C_{V} = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}

Paralelní zapojení N kondenzátorů:

C_{V} = C_{1} + C_{2} + . . . + C_{N}

3.2.2

Výpočet impedance obvodů s kondenzátory

Impedanci kondenzátoru

\bar{Z_{C}}

definujeme obecným vztahem pro impedanci ve složkovém tvaru:

\bar{Z_{C}} = R + j X_{C}

Pro ideální kondenzátor platí, že R (stejnosměrný odpor dielektrika) je několikanásobně větší než střídavá reaktance kondenzátoru X_C. Vyjadřujeme záporným znaménkem. Potom můžeme psát:

\bar{Z_{C}} = {- j X}_{C} = - j \frac{1}{ω \cdot C} = \frac{1}{j ω \cdot C} .

Pro absolutní velikost impedance ideálního kondenzátoru platí:

|{\bar{Z}}_{C}| = X_{C} = \frac{1}{ω \cdot C}

Ideální kondenzátor má v zápisu impedance pouze imaginární část.

Obr. 45. [Příklad č. 70] Vlastnosti kondenzátoru ve střídavém obvodu

Příklad

[Příklad č. 70] Vypočítejte impedanci

\bar{Z_{C}}

ideálního kondenzátoru s kapacitou C = 10 µF na kmitočtu f = 1 kHz.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

U ideálního kondenzátoru je impedance rovna kapacitní reaktanci.

{\bar{Z}}_{C} = - j X_{C} = - j \frac{1}{ω \cdot C} = \frac{1}{j ω C}

Absolutní velikost impedance

\bar{Z_{C}}

|\bar{Z_{C}}| = \sqrt{X_{C}^{2}} = X_{C} = \frac{1}{ω \cdot C}

|{\bar{Z}}_{C}| = X_{C} = \frac{1}{ω \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot f \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot 1 000 \cdot 10 \cdot 10^{- 6}} = 15,92 Ω

Obr. 46. [Příklad č. 71] Impedance kondenzátoru

Příklad

[Příklad č. 71] Vypočítejte velikost impedance

\bar{Z_{C}}

ideálního kondenzátoru s kapacitou C = 10 µF pro pět různých kmitočtů

f

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Impedance kondenzátoru pro

f = 100 H z

|\bar{Z_{C}}| = \frac{1}{ω \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot f \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot 100 \cdot 10 \cdot 10^{- 6}} = 159,15 Ω

Impedance kondenzátoru pro

f = 1 000 H z

|\bar{Z_{C}}| = \frac{1}{ω \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot f \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot 1 000 \cdot 10 \cdot 10^{- 6}} = 15,92 Ω

Impedance kondenzátoru pro

f = 2 000 H z

|\bar{Z_{C}}| = \frac{1}{ω \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot f \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot π \cdot 2 000 \cdot 10 \cdot 10^{- 6}} = 7,96 Ω

Impedance kondenzátoru pro

f = 10 000 H z a p r o f = 15 000 H z

Vypočítejte samostatně:

………………………………………………………………………………...

[V ý s l e d k y : |\bar{Z_{C}}| (f = 10 000 H z) = 1,59 Ω; \bar{|Z_{C}|} (f = 15 000 H z) = 1,062 Ω

]

Obr. 47. [Příklad č. 72] Impedance kondenzátoru s rezistorem

Příklad

[Příklad č. 72] Vypočítejte v obvodu velikost impedance

{\bar{Z}}_{A B}

při kmitočtu f = 150 Hz a f = 5 000 Hz. Hodnota rezistorů

R_{1} = R_{2} = 100 Ω

a hodnota kondenzátorů

C_{1} = C_{2} = 100 µ F .

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Impedance

{\bar{Z}}_{A B}

sériové zapojení R₁ C₁, při f = 150 Hz:

{\bar{Z}}_{A B} = {\bar{Z}}_{R} + {\bar{Z}}_{C} = R_{1} + \frac{1}{j ω \cdot C_{1}} = R_{1} - j \frac{1}{ω \cdot C_{1}}

{\bar{Z}}_{A B} = R_{1} - j \frac{1}{2 \cdot π \cdot f \cdot C_{1}} = 100 - j \frac{1}{2 π \cdot 150 \cdot 100 \cdot 10^{- 6}} = (100 - j 10,61) Ω

Impedance

{\bar{Z}}_{A B}

sériové zapojení R₁ C₁, při f = 5 000 Hz:

Vypočítejte samostatně:

………………………………………………………………………………………

Impedance

{\bar{Z}}_{A B}

při paralelním zapojení

R_{2} C_{2}

, f = 150 Hz:

{\bar{Z}}_{A B} = {\bar{Z}}_{R 2} ∥ {\bar{Z}}_{C 2} = \frac{{\bar{Z}}_{R 2} \cdot {\bar{Z}}_{C 2}}{{\bar{Z}}_{R 2} + {\bar{Z}}_{C 2}} = \frac{R_{2} \cdot \frac{1}{j ω \cdot C_{2}}}{R_{2} + \frac{1}{j ω \cdot C_{2}}} = \frac{\frac{R_{2}}{j ω \cdot C_{2}}}{\frac{j ω \cdot R_{2} \cdot C_{2} + 1}{j ω \cdot C_{2}}} = \frac{R_{2}}{j ω \cdot R_{2} \cdot C_{2} + 1} = \frac{R_{2}}{1 + j ω \cdot R_{2} \cdot C_{2}}

{\bar{Z}}_{A B} = \frac{100}{1 + j 2 \cdot π \cdot f \cdot R_{2} \cdot C_{2}} = \frac{100}{1 + j 2 \cdot π \cdot 150 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 10^{- 6}} = \frac{100}{1 + j 0.942}

{\bar{Z}}_{A B} = \frac{100}{1 + j 0,942} \cdot \frac{1 - j 0,942}{1 - j 0,942} = \frac{100 - j 94,2}{1 - j 0,942 + j 0,942 + 0,88} = \frac{100 - j 94,2}{1,88}

{\bar{Z}}_{A B} = \frac{100}{1,88} - j \frac{94,2}{1,88} = (53,19 - j 50,1) Ω

Impedance

{\bar{Z}}_{A B}

při paralelním zapojení R₂ C₂, f = 5 000 Hz:

Vypočítejte samostatně:

………………………………………………………………………………………

[V ý s l e d k y : (s é r i o v é z a p o j e n í) \bar{Z_{A B}} (f = 5 000 H z) = (100 - j 3,14) Ω;

(p a r a l e l n í z a p o j e n í) \bar{Z_{A B}} (f = 5 000 H z) = (0,001 - j 0,318) Ω

]

Obr. 48. [Příklad č. 73] Impedance kondenzátorů s rezistorem

Příklad

[Příklad č. 73] Vypočítejte v obvodu velikost impedance

{\bar{Z}}_{A B}

. Odvoďte obecný vztah pro výpočet

{\bar{Z}}_{A B}

a vypočítejte její hodnotu při kmitočtu f = 1 000 Hz. Hodnota C₁ = 10 nF, C₂ = 10 nF a R = 560 Ω.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Odvození impedance

{\bar{Z}}_{A B}

{\bar{Z}}_{A B} = {\bar{Z}}_{C 1} + {\bar{Z}}_{R} ∥ {\bar{Z}}_{C 2} = \frac{1}{j ω \cdot C_{1}} + \frac{R \cdot \frac{1}{j ω \cdot C_{2}}}{R + \frac{1}{j ω \cdot C_{2}}} = \frac{1}{j ω \cdot C_{1}} + \frac{\frac{R}{j ω \cdot C_{2}}}{\frac{1 + j ω \cdot R \cdot C_{2}}{j ω \cdot C_{2}}}

{\bar{Z}}_{A B} = \frac{1}{j ω \cdot C_{1}} + \frac{R}{1 + j ω \cdot R \cdot C_{2}} = \frac{1}{j ω \cdot C_{1}} + \frac{R}{1 + j ω \cdot R \cdot C_{2}} \cdot \frac{1 - j ω \cdot R \cdot C_{2}}{1 - j ω \cdot R \cdot C_{2}}

{\bar{Z}}_{A B} = \frac{1}{j ω \cdot C_{1}} + \frac{R - j ω \cdot R^{2} \cdot C_{2}}{1 - j ω \cdot R \cdot C_{2} - j ω \cdot R \cdot C_{2} - j^{2} ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C_{2}^{2}}

{\bar{Z}}_{A B} = \frac{1}{j ω \cdot C_{1}} + \frac{R - j ω \cdot R^{2} \cdot C_{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C_{2}^{2}} = \frac{R}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C_{2}^{2}} - j \frac{ω \cdot R^{2} \cdot C_{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C_{2}^{2}} - j \frac{1}{ω \cdot C_{1}}

{\bar{Z}}_{A B} = \frac{560}{1 + ω^{2} \cdot 560^{2} \cdot {(10 \cdot 10^{- 9})}^{2}} - j (\frac{ω \cdot R^{2} \cdot C_{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C_{2}^{2}} + \frac{1}{ω \cdot C_{1}})

Po matematické úpravě a dosazení:

{\bar{Z}}_{A B (r e á l n á)} = \frac{560}{1 + 4 π^{2} {\cdot 1000}^{2} \cdot 560^{2} \cdot {(10 \cdot 10^{- 9})}^{2}} = \frac{560}{1 + 0,001238} = 559,3 Ω

{\bar{Z}}_{A B (i m a g .)} = (\frac{ω \cdot R^{2} \cdot C_{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C_{2}^{2}} + \frac{1}{ω \cdot C_{1}}) = \frac{2 π \cdot 1 000 \cdot 560^{2} \cdot 10 \cdot 10^{- 9}}{1 + 0,001238} + \frac{1}{2 π \cdot 1000 \cdot 10 \cdot 10^{- 9}}

{\bar{Z}}_{A B (i m a g .)} = \frac{19,7}{1,001238} + \frac{1}{62,8 \cdot 10^{- 6}} = 19,68 + 15 923,57 ≐ 15 943 Ω

{\bar{Z}}_{A B} = (559 - j 15 943)

Ω.

Obr. 49. [Příklad č. 74] Kapacitní dělič ve střídavém obvodu

Příklad

[Příklad č. 74] Vypočítejte výstupní napětí kapacitního děliče (nezatíženého), který je realizován kondenzátory

C_{1} = 200 n F a C_{2} = 100 n F .

Velikost vstupného napětí

U_{1 R M S} = 2,6 V

, frekvence vstupního napětí je f = 300 Hz (harmonický průběh).

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Odvození vztahu pro výpočet výstupního napětí:

U_{2} = U_{C 2} = I \cdot Z_{C 2}

I = \frac{U_{1}}{Z_{C 1} + Z_{C 2}}

Po dosazení za proud do první rovnice dostaneme tvar:

U_{2} = \frac{U_{1}}{Z_{C 1} + Z_{C 2}} \cdot Z_{C 2} = U_{1} \cdot \frac{Z_{C 2}}{Z_{C 1} + Z_{C 2}} .

Dále budeme řešit pouze zlomek s impedancemi kondenzátorů:

\frac{Z_{C 2}}{Z_{C 1} + Z_{C 2}}, r o z š í ř í m e z l o m e k v ý r a z e m \frac{1}{Z_{C 2}}

\frac{\frac{Z_{C 2}}{Z_{C 2}}}{\frac{Z_{C 1}}{Z_{C 2}} + \frac{Z_{C 2}}{Z_{C 2}}} = \frac{1}{\frac{Z_{C 1}}{Z_{C 2}} + 1}, d á l e ř e š í m e p o u z e p o d í l \frac{Z_{C 1}}{Z_{C 2}}

\frac{Z_{C 1}}{Z_{C 2}} = \frac{\frac{1}{j ω \cdot C_{1}}}{\frac{1}{j ω \cdot C_{2}}} = \frac{j ω \cdot C_{2}}{j ω \cdot C_{1}} = \frac{j ω \cdot C_{2}}{j ω \cdot C_{1}} \cdot \frac{- j ω \cdot C_{1}}{- j ω \cdot C_{1}} = \frac{- j^{2} \cdot ω^{2} \cdot C_{1} \cdot C_{2}}{- j^{2} \cdot ω^{2} \cdot C_{1} \cdot C_{1}}, p o v y k r á c e n í :

\frac{Z_{C 1}}{Z_{C 2}} = \frac{C_{2}}{C_{1}} a v ý s l e d n ý v ý r a z d o s a d í m e d o z á k l a d n í r o v n i c e .

U_{2} = U_{1} \cdot \frac{1}{\frac{Z_{C 1}}{Z_{C 2}} + 1} = U_{1} \cdot \frac{1}{\frac{C_{2}}{C 1} + 1} = U_{1} \cdot \frac{1}{\frac{C_{2} + C_{1}}{C_{1}}} = U_{1} \cdot \frac{C_{1}}{C_{2} + C_{1}}

Ve výsledném odvozeném vztahu nenajdeme parametr frekvence vstupního budicího napětí kapacitního děliče. Dělicí poměr kapacitního děliče je frekvenčně nezávislý.

U_{2} = U_{1} \cdot \frac{C_{1}}{C_{2} + C_{1}} = 2,6 \cdot \frac{200 \cdot 10^{- 9}}{100 \cdot 10^{- 9} + 200 \cdot 10^{- 9}} = 2,6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5,2}{3} = 1,73 V

Výstupní napětí kapacitního děliče je U_2RMS = 1,73 V.

Obr. 50. [Příklad č. 75] Výpočet napětí v obvodu s kondenzátory.

Příklad

[Příklad č. 75] Vypočítejte napětí na jednotlivých kondenzátorech zapojených do série. Kondenzátory mají jmenovitou kapacitu

C_{A} = 100 n F, C_{B} = 100 n F a C_{C} = 100 n F .

Velikost vstupného napětí

U_{1} = 12 V

, frekvence vstupního napětí je f = 100 Hz. K řešení využijte odvozený vzorec z předchozího příkladu.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Základní výpočtový vztah pro kapacitní dělič:

U_{2} = U_{1} \cdot \frac{C_{1}}{C_{2} + C_{1}}

Při dílčích výpočtech budeme do vzorce za C₁ a C₂ dosazovat odpovídající kondenzátory C_A, C_B a C_C.

Výpočet napětí U^III:

U_{2} = U_{1} \cdot \frac{C_{1}}{C_{2} + C_{1}} h o d n o t a C_{1} j e s é r i o v á k o m b i n a c e C_{A} a C_{B}, C_{2} j e h o d n o t a C_{C} .

U^{I I I} = U_{1} \cdot \frac{C_{A B}}{C_{C} + C_{A B}}

Výsledná hodnota sériového zapojení kondenzátorů

C_{A} a C_{B} :

C_{A B} = \frac{C_{A} \cdot C_{B}}{C_{A} + C_{B}} = \frac{100 \cdot 10^{- 9} \cdot 100 \cdot 10^{- 9}}{100 \cdot 10^{- 9} + 100 \cdot 10^{- 9}} = \frac{10 000 \cdot 10^{- 18}}{200 \cdot 10^{- 9}} = 50 \cdot 10^{- 9} = 50 n F

U^{I I I} = U_{1} \cdot \frac{C_{A B}}{C_{C} + C_{A B}} = 12 \cdot \frac{50 \cdot 10^{- 9}}{100 \cdot 10^{- 9} + 50 \cdot 10^{- 9}} = 12 \cdot 0,333 ≐ 4 V

Výpočet napětí U^II:

U_{2} = U_{1} \cdot \frac{C_{1}}{C_{2} + C_{1}} h o d n o t a C_{1} j e h o d n o t a C_{A}, C_{2} j e h o d n o t a s é r i o v é h o z a p . C_{B} a C_{C}

U^{I I} = U_{1} \cdot \frac{C_{A}}{C_{B C} + C_{A}}

Výsledná hodnota sériového zapojení kondenzátorů

C_{A} a C_{B} :

C_{B C} = \frac{C_{B} \cdot C_{C}}{C_{B} + C_{C}} = \frac{100 \cdot 10^{- 9} \cdot 100 \cdot 10^{- 9}}{100 \cdot 10^{- 9} + 100 \cdot 10^{- 9}} = \frac{10 000 \cdot 10^{- 18}}{200 \cdot 10^{- 9}} = 50 \cdot 10^{- 9} = 50 n F

U^{I I} = U_{1} \cdot \frac{C_{A}}{C_{B C} + C_{A}} = 12 \cdot \frac{100 \cdot 10^{- 9}}{50 \cdot 10^{- 9} + 100 \cdot 10^{- 9}} = 8 V .

Výpočet napětí na kondenzátoru C_A:

V obvodu platí z druhého Kirchhoffova zákona:

U_{1} = U^{I} + U^{I I} .

Z rovnice vyjádříme napětí

U^{I} :

U^{I} = U_{1} - U^{I I} = 12 - 8 = 4 V .

[Výsledky: Napětí na kondenzátorech

U_{C A} = 4 V; U_{C B} = 4 V; U_{C C} = 4 V

]

Obr. 51. [Příklad č. 76] Realizace impedance pomocí RC prvků

Příklad

[Příklad č. 76] Vyjádřete (realizujte) impedanci

\bar{Z} = (10 - j 106,1) Ω

při frekvenci

f = 100 H z

pomocí ideálních prvků (R, C).

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Impedance

\bar{Z}

má kladnou reálnou část, bude realizována rezistorem

R = 10 Ω .

Záporné znaménko v imaginární části impedance

\bar{Z}

charakterizuje kapacitní charakter impedance, bude realizována pomocí kondenzátoru C. Rezistor R a kondenzátor C budou zapojeny v sérii.

Výpočet hodnoty kondenzátoru:

\bar{Z} = 10 - j 106,1 = R - j X_{C} = R - j \frac{1}{ω \cdot C}

\frac{1}{ω \cdot C} = 106,1 \to \frac{1}{2 π \cdot f \cdot C} = 106,1

Ze vzorce vyjádříme hodnotu kondenzátoru C:

C = \frac{1}{2 π \cdot f \cdot 106,1} = \frac{1}{2 π \cdot 100 \cdot 106,1} = 15 µ F .

[V ý s l e d k y : I m p e d a n c i \bar{Z} = (10 - j 106,1) Ω m ů ž e m e p ř i f = 100 H z r e a l i z o v a t

p o m o c í r e z i s t o r u R = 10 Ω a k o n d e n z á t o r u C = 15 µ F .]

Obr. 52. [Příklad č. 77] Realizace impedance pomocí RC prvků

Příklad

[Příklad č. 77] Vyjádřete impedanci

\bar{Z} = (2000 - j 53) Ω

při frekvenci

f = 1000 H z

pomocí ideálních prvků. Nakreslete zapojení ideálních prvků, pro realizaci použijte pouze rezistory R = 1 000 Ω a kondenzátory C = 1 µF.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

\bar{Z} = 2000 - j 53 = R - j X_{C} = R - j \frac{1}{ω \cdot C}

Vypočítejte samostatně:

…………………………………………………………………………………….

[Výsledky: Impedanci

\bar{Z} = (2000 - j 53)

Ω můžeme realizovat pomocí dvou rezistorů

R_{1} = R_{2} = 1000 Ω

(zapojených v sérii) a tří kondenzátorů

C_{1} = C_{2} = C_{3} = 1 µ F

(zapojených paralelně).]