4.3
Algebraický zápis
Algebraický zápis představuje vyjádření logické funkce prostřednictvím pravidel Booleovy algebry za pomoci nezávisle proměnných, trojice elementárních logických funkcí (logický součet, součin a negace) a zákonů Booleovy algebry.
Definice
Nejprve uveďme několik potřebných pojmů.
Nezávislá proměnná – jedna vstupní proměnná funkce v přímém či negovaném tvaru, nezávislá na hodnotách logické funkce ani jiných proměnných.
Jednotkový bod – stav (kombinace nezávisle proměnných), kdy daná funkce nabývá hodnoty logická 1.
Nulový bod – stav (kombinace nezávisle proměnných), kdy daná funkce nabývá hodnoty logická 0.
Term – jeden výraz obsahující každou nezávislou proměnnou jedenkrát, ať již v přímém či negovaném tvaru.
Součinový term – term vytvořený jako logický součin vstupních nezávislých proměnných (term obsahuje pouze funkci logického součinu).
Součtový term – term vytvořený jako logický součet vstupních nezávislých proměnných (term obsahuje pouze funkci logického součtu).
4.3.1
Úplná normální disjunktní forma
Definice
Úplná normální disjunktní forma (ÚNDF) obsahuje tolik součtů součinových termů, kolik má daná funkce jednotkových bodů. Tuto formu funkce můžeme tedy také nazvat jako „součet součinů“.
Poznámka
V anglické literatuře se tato forma funkce označuje jako „Sum of Products“ (SOP).
Obecně můžeme úplnou normální disjunktní formu zapsat jako výraz.
f=⋁N=02n-1fN⋅CN
Kde:
N – představuje stavový index,
⋁N=02n-1  – vyjadřuje operace logického součtu přes všechny stavové indexy,
fN – je hodnota logické funkce f pro daný stavový index N (1, 0, X),
CN – je součinový term pro daný stavový index N.
Pro vyjádření ÚNDF funkce f z její úplné pravdivostní tabulky tedy postupujeme tak, že pro každý řádek tabulky vytvoříme logický součin funkční hodnoty fN a součinového termu daných nezávislých proměnných, který vytvoříme jako logický součin jednotlivých proměnných v přímém tvaru (pokud je hodnota proměnné 1) nebo negace (pokud je hodnota proměnné 0). Dále využijeme zákon o neutrálnosti jedničky a agresivity nuly a výslednou ÚNDF získáme jako logický součet vzniklých součinových termů.
Pokud je funkční hodnota fN pro daný stavový index N neurčitá (neurčitý tvar, X), považujeme jej v případě ÚNDF za logickou 1.
Příklad
Pro předchozí funkci f definovanou pravdivostní tabulkou 7 vytvoříme její ÚNDF:
fÚNDF=0⋅a¯⋅b¯⋅c¯∨1⋅a⋅b¯⋅c¯∨1⋅a¯⋅b⋅c¯∨1⋅a⋅b⋅c¯∨0⋅a¯⋅b¯⋅c∨1⋅a⋅b¯⋅c∨0⋅a¯⋅b⋅c∨1⋅a⋅b⋅c=a⋅b¯⋅c¯∨a¯⋅b⋅c¯∨a⋅b⋅c¯∨a⋅b¯⋅c∨a⋅b⋅c
4.3.2
Úplná normální konjunktní forma
Opakem disjunktní formy funkce je forma konjunktní.
Definice
Úplná normální konjunktní forma (ÚNKF) obsahuje tolik součinů součtových termů, kolik má daná funkce nulových bodů. Tuto formu funkce můžeme tedy také nazvat jako „součin součtů“.
Poznámka
V anglické literatuře se tato forma funkce označuje jako „Product of Sums“ (POS).
Obecně můžeme úplnou normální konjunktní formu zapsat jako výraz.
f=⋀N=02n-1fN⋅DN
Kde:
N – představuje stavový index,
⋀N=02n-1  – vyjadřuje operace logického součinu přes všechny stavové indexy,
fN – je hodnota logické funkce f pro daný stavový index N (1, 0, X),
DN – je součtový term pro daný stavový index N.
Pro vyjádření ÚNKF funkce f z její úplné pravdivostní tabulky tedy postupujeme tak, že pro každý řádek tabulky vytvoříme logický součet funkční hodnoty fN a NEGACE součinového termu daných nezávislých proměnných, který vytvoříme jako logický součin jednotlivých proměnných v přímém tvaru (pokud je hodnota proměnné 1) nebo negace (pokud je hodnota proměnné 0). Dále využijeme zákon o neutrálnosti nuly a agresivity jedničky a De Morganova pravidla o negaci logického součtu a součinu a výslednou ÚNKF získáme jako logický součin vzniklých součtových termů.
Pokud je funkční hodnota fN pro daný stavový index N neurčitá (neurčitý tvar, X), považujeme jej v případě ÚNKF za logickou 0.
Příklad
Pro předchozí funkci f definovanou pravdivostní tabulkou 7 vytvoříme její ÚNKF:
fÚNKF=0∨a¯⋅b¯⋅c¯¯⋅1∨a⋅b¯⋅c¯¯⋅1∨a¯⋅b⋅c¯¯⋅0∨a⋅b⋅c¯¯⋅0∨a¯⋅b¯⋅c¯⋅1∨a⋅b¯⋅c¯⋅0∨a¯⋅b⋅c¯⋅0∨a⋅b⋅c¯=a∨b∨c⋅a¯∨b¯∨c⋅a∨b∨c¯⋅a∨b¯∨c¯⋅a¯∨b¯∨c¯
Souhrn
Z předchozího popisu je evidentní, že pro každou funkci f můžeme vždy sestavit její ÚNDF i ÚNKF.
Díky použití zákonů Booleovy algebry vyplývá pro jednotlivé formy:
  • ÚNDF získáme, pokud z pravdivostní tabulky funkce vybereme řádky, ve kterých je hodnota funkce logická 1 nebo neurčitý stav X,
  • ÚNKF naopak získáme tak, že z pravdivostní tabulky funkce f vybereme ty řádky, kdy je hodnota funkce logická 0 nebo neurčitý stav X.
V předchozí kapitole 3 byl definován pojem minimální úplný soubor logických funkcí a příkladem takového minimálního souboru je funkce negovaný logický součin (NAND) nebo negovaný logický součet (NOR). Obě tyto funkce lze použít pro realizaci obou tvarů funkce, ÚNDF i ÚNKF. S ohledem na pravdivostní tabulky obou funkcí je však výhodnější použít funkce takto.
Definice
  • Tvar ÚNDF je výhodnější realizovat pomocí hradel NAND.
  • Naopak tvar funkce ÚNKF je vhodnější pro realizaci logického obvodu pomocí hradel NOR.
Poznámka
Obě formy funkce – ÚNDF a ÚNKF – můžeme navzájem mezi sebou převádět a z jedné formy dané funkce tak získat formu opačnou. Lze to provést pomocí zákonů Booleovy algebry, ale jedná se o postup pracný, ve kterém se lze snadno dopustit chyby.
Lepší metodou pro převod forem je použití tzv. Karnaughovy mapy či rovinného n-rozměrného tělesa.
Výhody
Výhodou algebraického vyjádření logické funkce je možnost bezprostředně navrhnout realizaci logické funkce pomocí elementárních hradel.
Nevýhody
Na druhou stranu není algebraické vyjádření funkce příliš vhodné pro minimalizaci formy funkce ani pro převod mezi formami funkce navzájem (vzájemný převod forem ÚNDF, ÚNKF). Oba tyto úkoly lze sice řešit přímou aplikací zákonů Booleovy algebry, ale tento postup je obvykle pracný, zdlouhavý a s potenciálním rizikem dopuštění se chyby během úprav výrazů a jejich vyjádření.