3.2
Aplikace zákonů Booleovy algebry při úpravě počtu vstupů logických hradel
V kapitole 2 jsme se zabývali reálnými integrovanými obvody logických hradel a obvodů. Z ukázky výčtů obvodů řad 7400 a 4000 je zřejmé, že int. obvody obsahují obvykle hradla s počty vstupů 2, 3, 4 a 8. Ne vždy jsou však v praxi všechna tato hradla dostupná, můžeme se tak při návrhu zapojení logického obvodu dostat do situace, kdy máme k dispozici hradla v int. obvodech s jiným počtem vstupů, než jaká bychom pro zapojení požadovaného obvodu potřebovali.
Mohou tedy nastat dvě situace:
  1. máme k dispozici hradla s nižším počtem vstupů, než je potřeba,
  1. máme naopak k dispozici hradla s vyšším počtem vstupů, než bychom potřebovali.
Řešení první situace je založeno na aplikaci zákona dvojité negace a pomocí zákonů o negaci logického součinu, respektive logického součtu, provádíme úpravy negovaných výrazů. Jak ze zákona dvojité negace vyplývá, sudým stupněm negace nezměníme hodnotu daného výrazu. Při každém dvojím znegování se tak snažíme logický výraz obsahující vyšší počet proměnných vhodně rozdělit tak, abychom získali postupně větší počet výrazů s nižšími počty proměnných. Tyto výrazy pak již můžeme v obvodové realizaci logického obvodu vytvořit pomocí zadaných hradel s nižším počtem vstupů.
Příklad
Příklad:
Upravte vyjádření logické funkce f obsahující výrazy se třemi proměnnými tak, aby ji bylo možno realizovat pomocí int. obvodů obsahujících hradla NAND se dvěma vstupy.
f=a⋅b⋅d¯∨b¯⋅c⋅d .
Zobrazit řešení
Řešení
Řešení:
Zadaná funkce f obsahuje dva výrazy, každý obsahuje trojici proměnných. Pro realizaci obvodu pomocí hradel NAND se dvěma vstupy je potřeba vyjádření funkce f upravit, aby počet proměnných v jednotlivých výrazech byl maximálně 2.
f=a⋅b⋅d¯∨b¯⋅c⋅d=a⋅b⋅d¯¯⋅b¯⋅c⋅d¯¯=a⋅b⋅d¯¯¯¯⋅b¯⋅c⋅d¯¯¯¯=a⋅b¯∨d¯¯¯¯⋅b¯¯∨c⋅d¯¯¯¯=a⋅b¯¯⋅d¯¯¯¯⋅b¯¯¯⋅c⋅d¯¯¯¯=a⋅b¯¯⋅d¯¯⋅b¯⋅c⋅d¯¯¯¯ .
Poznámka
Z uvedeného příkladu je evidentní, že úpravy i v případě relativně jednoduchého výrazu způsobí jeho značnou nepřehlednost a složitost.
Pro zpřehlednění těchto úprav slouží grafická metoda tzv. Rottovy mřížky.
Druhá situace naopak předpokládá, že jsou k dispozici logická hradla (int. obvody) s vyšším počtem vstupů, než bychom pro zapojení zadané funkce potřebovali. Z toho vyplývá, že by některé vstupy logických hradel zůstaly nezapojeny.
Nevýhody
Nezapojené vstupy logických hradel však mohou způsobit chybu ve výstupní logické funkci takového obvodu! Do nezapojeného vstupu hradla totiž může lehce pronikat rušící signál např. z daného obvodu nebo z okolního rušícího zdroje, který pak může způsobit nežádoucí překlopení logického hradla neodpovídající požadované logické funkci.
Z tohoto důvodu je důležité neponechávat žádné nezapojené vstupy logických hradel a obvodů!
I pro řešení této situace využijeme zákony Booleovy algebry, konkrétně zákon o neutrálnosti jedničky a zákon o neutrálnosti nuly. Podle nich totiž platí:
Zákon o neutrálnosti nuly: a∨0=a .
Zákon o neutrálnosti jedničky: a⋅1=a .
Definice
Z nich vyplývá, že pokud připojíme nezapojený vstup u součtového hradla OR či NOR na hodnotu logická 0, které v případě pozitivní logiky odpovídá obvykle napětí 0 V, nezměníme výstup tohoto hradla.
Naopak, v případě součinového hradla AND či NAND, můžeme nezapojený vstup hradla připojit na hodnotu logická 1, čemuž v případě pozitivní logiky odpovídá definovaná kladná hodnota napětí +Vcc, abychom nezměnili jeho výstupní hodnotu.
Výše uvedené ilustruje obrázek 14 pro 3vstupá hradla NAND a NOR s využitím pouze 2 vstupů.
+
14. Doporučené ošetření nezapojených vstupů součinových a součtových logických hradel
Obr. 14. Doporučené ošetření nezapojených vstupů součinových a součtových logických hradel
V případě součinových hradel AND a NAND tak volíme připojení ke zdroji napájení obvodu +Vcc, kterému odpovídá v pozitivní logice hodnota logická 1. S ohledem na napájecí napětí, je doporučeno použití předřadného odporu v řádu jednotek kΩ. V případě součtových hradel OR a NOR pak obvykle volíme připojení nezapojeného vstupu k nulovému potenciálu (v pozitivní logice jí odpovídá hodnota logická 0).
Poznámka
V seznamu zákonů Booleovy algebry však nalezneme i zákon o idempotenci prvků:
Zákon o idempotenci prvků: a⋅a=a , a∨a=a .
Z něho vyplývá, že jak v případě součinových hradel AND a NAND, tak i v případě součtových hradel OR a NOR, nezměníme výstupní hodnotu logického hradla, pokud spojíme dva či více jeho vstupů dohromady. Tímto způsobem bychom tedy mohli ošetřit nezapojené vstupy hradel jejich spojením a připojením k jinému zapojenému vstupu téhož hradla.
Uvedený způsob je v zásadě možný a použitelný, oproti předchozímu způsobu s využitím napětí zdroje +Vcc a uzemnění má však nevýhodu v tom, že do takto spojených vstupů hradla musí téci n-krát větší vstupní proud odpovídající počtu n spojených vstupů. Reálné int. obvody a hradla mají totiž nenulovou spotřebu a díky nenulové vstupní impedanci do jejich vstupů tečou nenulové proudy, které musí předchozí obvod (hradlo) připojený do tohoto vstupu zajistit. Navýšením tohoto vstupního proudu tedy zvyšujeme výkonové zatížení předchozího obvodu (hradla) a snižujeme tím jeho tzv. logický zisk.