Elektrotechnika I

3.5

Popis základních průběhů využívaných v elektrotechnice

V dalším textu se zaměříme na časově proměnné, střídavé, periodické průběhy napětí (proudu).

3.5.1

Základní parametry

U střídavých napětí (proudů) je jejich podrobnější popis rozmanitější. U těchto průběhů definujeme parametry, které můžeme rozdělit na napěťové a časové.

3.5.1.1

Napěťové (proudové) parametry

Okamžitá hodnota

Maximální a minimální hodnota

Střední hodnota

Efektivní hodnota

3.5.1.2

Časové parametry

Doba periody

Frekvence

Doba náběžné části průběhu

Doba sestupné části průběhu

3.5.2

Definice základních parametrů

3.5.2.1

Okamžitá hodnota

Je to hodnota napětí, která je vázaná na určený časový okamžik. V čase t1 je hodnota napětí například 3,4 V. Tuto zkutečnost potom zapisujeme takto: u(t1) = 3,4V.

3.5.2.2

Maximální (minimální) hodnota (+U_M, -U_M)

Je to největší (nejmenší) hodnota napětí (proudu) v průběhu doby celé periody. Maximální hodnotu v kladné části napětí označujeme +U_M. Maximální hodnotu v záporné části označujeme –U_M. Rozdíl obou hodnot označujeme jako napětí špička→špička (špička kladná→špička záporná). Označujeme ji U_š-š nebu U_P-P (z anglického: Peak to Peak).

3.5.2.3

Střední hodnota (U_AV, I_AV)

Definice

Střední hodnota libovolného, časově proměnného, periodického signálu (napětí, proud) je taková hodnota stejnosměrného signálu (napětí, proud), který za stejnou dobu (stejný časový interval - nejčastěji doba periody T) přenese stejný náboj Q ze zdroje do spotřebiče.

Střední hodnotu napětí značíme U_AV, střední hodnotu proudu I_AV. Index AV je zkratkou z anglického pojmenování střední = AVERAGE.

Matematicky je střední hodnota definována takto:

U_{A V} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u (t) d t

kde: U_AV je střední hodnota napětí [V], T je doba periody [s], u(t) je matematické vyjádření časového průběhu napětí.

I_{A V} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i (t) d t

kde: I_AV je střední hodnota proudu [A], T je doba periody [s], i(t) je matematické vyjádření časového průběhu proudu.

Obr. 13. Střední hodnota napětí (proudu)

Z matemetické definice vyplývá, že pokud bude signal v rámci jedné periody simetrický, bude střední hodnota nulová. Následující časové průběhy se vyznačují nulovou střední hodnotou.

Obr. 14. Časové průběhy s nulovou střední hodnotou

Definice

Časově proměnný signal má nulovou střední hodnotu, pokud plocha signálu nad osou času je shodná s plochou signálu pod osou času. Vyhodnocení této skutečnosti je definováno v rámci jedné periody (u periodických signálů) nebo v rámci určitého časového rozmezí (u ostatních signálů).

Poznámka

Problematika střední hodnoty je v elektrotechnice využívána například v oblasti bližšího rozboru
( popisu) nabíjecích a vybíjecích procesů akumulátorových bateriích.

3.5.2.4

Efektivní hodnota (U_RMS, I_RMS, U_ef, I_ef)

Definice

Efektivní hodnota časově proměnného, periodického signálu (napětí, proud) je taková hodnota stejnosměrného signálu (napětí, proud), který za stejnou dobu (stejný časový interval – nejčastěji doba periody T) vykoná stejnou práci.

Efektivní hodnotu napětí značíme U_ef nebo U_RMS, střední hodnotu proudu I_ef nebo I_RMS. Index RMS je zkratkou z anglického pojmenování RMS→Root Mean Square.

Matematicky je efektivní hodnota definována takto:

U_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^{2} (t) d t}

kde: U_RMS je střední hodnota napětí [V], T je doba periody [s], u(t) je matematické vyjádření časového průběhu.

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} (t) d t}

kde: I_RMS je střední hodnota proudu [A], T je doba periody [s], u(t) je matematické vyjádření časového průběhu.

Poznámka

Význam střední a efektivní hodnoty v elektrotechnice spočívá v tom, že u některých výpočtů můžeme nahradit časově proměnný signal signálem stejnosměrným, jehož působení je v daném popisu rovnocenné. Matematický zápis stejnosměrného signálu (střední, efektivní hodnota) je výrazně jednodušší (U_AV = -2,36 V nebo I_RMS = 8,25 A)

3.5.2.5

Doba periody, Frekvence

Doba periody je základní parametr periodických signálů, značíme jej písmenkem T, jednotkou je sekunda [s]. Je to časové rozmezí (má definovaný začátek a konec), ve kterém se průběh napětí neustále opakuje.

Obr. 15. Doba periody signálu

Frekvence je často používaný parameter periodických signálů, který lze jednoduše stanovit z doby periody:

T = \frac{1}{f} [s; H z]

Pro frekvenci platí:

f = \frac{1}{T} [H z; s]

Příklad

Při měření periodického signálu (pomocí osciloskopu) byla naměřena doba periody T = 28,6 µs. Vypočítejte frekvenci měřeného signálu.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{28,6 \cdot 10^{- 6}} = 34 965 [H z]

Příklad

Vypočítejte dobu periody časově proměnného harmonického napětí, které využíváme v běžných zásuvkových (světelných) obvodech v domácnosti. Napětí je definováno hodnotami ~230V/50Hz. (Hodnota 50Hz je často popisována jako průmyslový kmitočet).

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 0,02 [s]

Doba periody průmyslových kmitočtů f=50Hz je 0,02s (tedy 20 ms).

3.5.2.6

Doba náběžné a sestupné části

Tento parameter bývá nejčastěji definován u obdelníkového signálu, který se vyznačuje skokovými změnami napětí. Doba je definována jako čas v rozmezí 10% až 90% z maximální hodnoty na náběžné části signálu. V sestupné části signálu se definuje jako doba poklesu z 90% na 10% z maximální hodnoty. Doba náběžné části (náběžné hrany) signálu se značí t_R (Rise time) a doba sestupné části jako t_F (Fall time). V elektrotechnice se kvalitní signály vyznačují dobou t_R (t_F) řádově v mikrosekundách.

3.5.2.7

Ostatní parametry

Překmit, podkmit, doba ustálení.

3.5.3

Sinusový průběh napětí (proudu)

Jedná se časový průběh napětí (proudu) s definovaným průběhem odpovídající matematickému zápisu:

u (t) = U_{M} \sin ω t

kde: U_M je maximální hodnota napětí [V], sin je matematická funkce, ω je úhlový kmitočet [rad/s].

Pro proud platí:

i (t) = I_{M} \sin ω t

Tento časový průběh nazýváme jako HARMONICKÝ. Časový průběh má následující podobu:

Obr. 16. Časový průběh – sinusový

Pokud je tento harmonický signal superponován na stejnosměrnou složku U, je definován matematickým zápisem:

u (t) = {U + U}_{M} \sin ω t = U_{A V} + U_{M} \sin ω t

Pro proud:

i (t) = {I + I}_{M} \sin ω t = I_{A V} + I_{M} \sin ω t

Poznámka

Střední hodnota U_AV, I_AV je vlastně stejnosměrná složka napětí (proudu) - PAMATUJ!!!

Obr. 17. Harmonický signal se stejnosměrnou složkou.

Výpočet střední hodnoty U_AV napěťového signálu

u (t) = U_{M} \sin ω t

U_{A V} = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} U_{M} \sin ω t d t = \frac{U_{M}}{T} \cdot \int_{0}^{T} \sin ω t d t = \frac{U_{M}}{T} \cdot {[- \frac{T}{2 π} \cdot \cos \frac{2 π}{T} \cdot t]}_{0}^{T}

U_{A V} = \frac{U_{M}}{T} \cdot [- \frac{T}{2 π} \cdot \cos \frac{2 π}{T} \cdot T + \frac{T}{2 π} \cdot \cos \frac{2 π}{T} \cdot 0] = \frac{U_{M}}{T} \cdot [- \frac{T}{2 π} + \frac{T}{2 π}] = 0 [V]

Poznámka

Při výpočtu bylo využito

ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}

a dále vzorce

{s i n}^{2} α = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 α)

Výpočet efektivní hodnoty U_RMS napěťového signálu

u (t) = U_{M} \sin ω t

U_{R M S} = \sqrt{[\frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} U_{M}^{2} \cdot {s i n}^{2} ω t d t] =} \sqrt{[\frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} U_{M}^{2} \cdot {s i n}^{2} \frac{2 π}{T} t d t]}

U_{R M S} = \sqrt{[\frac{U_{M}^{2}}{2 T} \cdot \int_{0}^{T} (1 - \cos \frac{2 \cdot 2 π}{T} \cdot t) d t] =} \sqrt{[\frac{U_{M}^{2}}{2 T} \cdot {[t - \frac{T}{4 π} \cdot \sin \frac{4 π}{T} \cdot t]}_{0}^{T}]}

U_{R M S} = \sqrt{[\frac{U_{M}^{2}}{2 T} \cdot [T - \frac{T}{4 π} \cdot \sin \frac{4 π}{T} \cdot T]]} ´ = \sqrt{[\frac{U_{M}^{2}}{2 T} \cdot [T - 0]]} = \sqrt{\frac{U_{M}^{2}}{2}} = \frac{U_{M}}{\sqrt{2}}

Poznámka

Výsledek je totožný s často používaným vzorcem → efektivní hodnota harmonického signálu je definována jako maximální hodnota U_M, dělená odmocninou čísla 2.

3.5.4

Obdélníkový průběh napětí (proudu)

Tento typ časového průběhu napětí (proudu) najdeme v elektrotechnice v oblasi číslicové nebo mikroprocesorové techniky. Obdélníkový signál v těchto obvodech tvoří strukturu dat, která jsou zpracována na základě zapojení elementárních obvodů (číslicová technika) nebo řídícího programu uloženého v paměti mikroprocesoru (mikroprocesorová technika). Obdélníkový průběh napětí je také základní řídící veličinou v obvodech impulzně řízených zdrojů, měničů napětí, krokových a stejnosměrných motorů. Dvoustavový signál má pouze 2 hodnoty (úrovně) napětí. Nízká úroveň napětí (úroveň označujeme L – low) a vysoká úroveň napětí (úroveň označujeme H – High).

Obr. 18. Obdélníkový průběhu napětí

Obdélníkový průběh můžeme popsat (definovat) po jeho dílčích částech takto:

V čase (0 až t₁) je hodnota napětí U₁

V čase (t₁ až T) je hodnota napětí U₂

U obdélníkového signálu definujeme následující parametry:

Hodnota napětí vysoké úrovně (v číslicové technice označujeme stav H – High)

Hodnota napětí nízké úrovně (v číslicové technice označujeme stav L – Low)

Doba periody - T

Frekvence - f

Doba náběžné a sestupné hrany signálu

Činitel plnění nebo také střída

Střední hodnota a efektivní hodnota

Hodnota napětí úrovní L a H je závislá na obvodech, ve kterých se obdélníkový signál nachází. V číslicových zapojeních využívající obvody s technologií TTL je úroveň L definována hodnotou napětí 0V a úroveň H hodnotou 5V. Obdobně jsou těmito hodnotami napětí definovány logické úrovně na vstupních (výstupních) vodičích mikroprocesorových obvodů (mikroprocesorů, polovodičových pamětí a vstupně-výstupních obvodů).

Poznámka

U ostatních obvodů s technologiemi CMOS, I ²L, mikroprocesory s napájecím napětím 3,3V jsou hodnoty napětí úrovní L a H odlišné. (Je nutné nastudovat katalogové listy).

Výpočet střední hodnoty U_AV obdélníkového signálu s parametry dle obrázku:

Obr. 19. Časový průběh - výpočet střední hodnoty

Výpočet střední hodnoty:

U_{A V} = \frac{1}{T} \cdot [\int_{0}^{\frac{T}{2}} U_{M} d t + \int_{\frac{T}{2}}^{T} - U_{M} d t] = \frac{1}{T} (U_{M} \cdot \int_{0}^{\frac{T}{2}} d t - U_{M} \cdot \int_{\frac{T}{2}}^{T} d t)

U_{A V} = \frac{1}{T} (U_{M} \cdot {[t]}_{0}^{T / 2} - U_{M} \cdot {[t]}_{T / 2}^{T}) = \frac{1}{T} \cdot (\frac{U_{M} \cdot T}{2} - \frac{U_{M} \cdot T}{2}) = 0 V

Výpočet efektivní hodnoty U_RMS:

U_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot (\int_{0}^{\frac{T}{2}} U_{M}^{2} d t + \int_{\frac{T}{2}}^{T} {- U}_{M}^{2} d t)} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot (U_{M}^{2} \cdot {[t]}_{0}^{T / 2} + U_{M}^{2} \cdot {[t]}_{T / 2}^{T} d t)}

U_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot (U_{M}^{2} \cdot \frac{T}{2} + U_{M}^{2} \cdot \frac{T}{2}) =} \sqrt{\frac{1}{T} \cdot 2 (U_{M}^{2} \cdot \frac{T}{2}) =} \sqrt{U_{M}^{2} =} U_{M}

Poznámka

Z výsledků výpočtů můžeme potvrdit základní definiční vlastnosti pro střední a efektivní hodnotu. Střední hodnota je rovna 0V→časový průběh má stejnou plochu nad i pod osou času. Efektivní hodnota je rovna hodnotě U_M→ signal má v průběhu periody pouze dvě hodnoty (+U_M a –U_M), pro celkovou efektivní hodnotu obdélníkového průběhu nemá význam směr protékaného proudu
(+I hodnota +U_M, -I hodnota –U_M).

3.5.5

Trojúhelníkový (pilový) průběh napětí (proudu)

Tento typ časově proměnného napětí nachází uplatnění v měřící technice a v analogové technice, kde důležitou funkcí jsou nabíjecí a vybíjeci procesy.

Obr. 20. Pilovitý průběh napětí

Pilovitý signál se vyznačuje následujícími parametry:

Hodnota napětí kladné špičky U₊

Hodnota napětí záporné špičky U_-

Doba náběžné lineární části t₁

Doba sestupné lineární části t₂

Frekvence, doba periody

Střední hodnota a efektivní hodnota

Výpočet střední hodnoty U_AV trojúhelníkového signálu s parametry dle obrázku:

Obr. 21. Časový průběh výpočet střední a efektivní hodnoty

Výpočet střední hodnoty:

U_{A V} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u (t) d t = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{U_{M}}{T} \cdot t d t = \frac{1}{T} \cdot \frac{U_{M}}{T} \cdot \int_{0}^{T} t d t = \frac{U_{M}}{T^{2}} \cdot {[\frac{t^{2}}{2}]}_{0}^{T}

U_{A V} = \frac{U_{M}}{T^{2}} \cdot [\frac{T^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}] = \frac{U_{M}}{T^{2}} \cdot \frac{T^{2}}{2} = \frac{U_{M}}{2}

Výpočet efektivní hodnoty:

U_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} u^{2} (t) d t} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} \frac{U_{M}^{2}}{T^{2}} \cdot t^{2} d t} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \frac{U_{M}^{2}}{T^{2}} \cdot \int_{0}^{T} t^{2} d t}

U_{R M S} = \sqrt{\frac{U_{M}^{2}}{T^{3}} \cdot {[\frac{t^{3}}{3}]}_{0}^{T}} = \sqrt{\frac{U_{M}^{2}}{T^{3}} \cdot \frac{T^{3}}{3}} = \sqrt{\frac{U_{M}^{2}}{3}} = \frac{U_{M}}{\sqrt{3}}