Elektroenergetika 4 – poruchové stavy

2.8

Výpočet účinků zkratových proudů

2.8.1

Dynamické účinky zkratových proudů na tuhé vodiče

Budeme uvažovat přípojnice v rozvodně, které jsou podepřené podpěrami, viz obr. 15. Fotografii z rozvodny si lze prohlédnout na obr. 18.

Obr. 15. Schéma uspořádání přípojnic s podpěrami

Pro vyhodnocení odolnosti proti zkratovým silám u tuhých vodičů se nejprve spočítá vrcholová síla mezi dvěma vodiči F_m:

F_{m} = \frac{μ_{0}}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i_{p}^{2} \cdot \frac{l}{a_{m}}

[N], kde

i_p je maximální hodnota zkratového proudu (nárazový zkratový proud) [A],

l je osová vzdálenost mezi sousedními podpěrami [m],

μ₀ je permeabilita vakua, μ₀ = 4π.10^-7 H/m,

a_m je účinná vzdálenost mezi hlavními vodiči, která respektuje tvar vodiče (průřezu) [m]:

hlavní vodiče tvořené jedním vodičem kruhového průřezu: a_m = a (vzdálenost mezi fázovými vodiči),

obdélníkový průřez: $a_{m} = \frac{a}{k_{12}}$ , k₁₂ lze určit dle tvaru a rozměrů vodičů z normy [5].

Ohybové namáhání vodičů vyvolané silami mezi vodiči (ohybové napětí) bude u přípojnic obdélníkového průřezu záviset nejenom na síle mezi vodiči, ale též na tom, zda je průřez přípojnic uspořádán vertikálně, nebo horizontálně, viz obr. 16. Vodiče musí být upevněny tak, aby byly zanedbatelné osové síly.

Obr. 16. Vertikální a horizontální uspořádání přípojnic

Ohybové napětí určíme ze vztahu:

σ_{m} = V_{σ} \cdot V_{r} \cdot β \cdot \frac{F_{m} \cdot l}{8 W_{m}}

[Pa], kde

V_σ, V_r jsou součinitelé respektující dynamické působení (pro trojfázový zkrat je V_σ .V_r = 1),

β je součinitel závislý na typu a počtu podpěr, pro dvě a více rozpětí je roven 0,73, pro jiná uspořádání jsou hodnoty v normě [5],

W_m je průřezový modul, který se určí se z tvaru a rozměrů vodiče dle obr. 17.

Obr. 17. Výpočet průřezového modulu

Přípojnice jsou odolné proti zkratové síle, jestliže je splněna podmínka:

σ_{m} \leq q \cdot R_{p 0,2}

[Pa], kde

R_p0,2 je minimální hodnota meze průtažnosti materiálu vodiče, která musí být zadána (např. pro Al je rovna 40 MPa),

q je součinitel dle tvaru vodiče (přípojnice):

obdélníkový průřez: q = 1,5

kruhový průřez: q = 1,7

Pokud by se nejednalo o jednoduché, ale o složené vodiče, musela by se jednotlivá namáhání sčítat a porovnávali bychom pak ne jenom σ_m, ale součet namáhání σ_tot (celkové namáhání).

Ohybové síly působí nejen na vodiče, ale též na podpěry, výpočet opět udává norma [5]. Stejně tak v ní lze nalézt podrobné výpočty tahových sil a výpočty pro uspořádání s ohebnými vodiči.

Obr. 18. Přípojnice v rozvodně Praha Malešice

2.8.2

Tepelné účinky zkratových proudů na holé vodiče

Vlivem vysokých zkratových proudů dochází k nadměrnému oteplování vodičů. Oteplení vodičů způsobené zkratovými proudy v sobě zahrnuje několik složitých jevů nelineárního charakteru. Pro posouzení tepelných účinků zkratu potřebujeme znát též dobu zkratu T_k. Dále učiníme několik zjednodušení:

zanedbáme skinefekt (vliv magnetického pole vlastního vodiče) a proximityefekt (vliv magnetického pole blízkých rovnoběžných vodičů);

závislost odporu na teplotě je lineární;

měrné teplo vodiče je konstantní;

ohřev je adiabatický (nedochází k tepelné výměně s okolím).

Oteplení vodiče způsobené zkratem závisí na ekvivalentním oteplovacím proudu, době zkratu a materiálu vodiče. Vypočteme ekvivalentní oteplovací proud I_th, viz kap. 2.6.7. Spočítáme velikost proudové hustoty

S_{t h} = \frac{I_{t h}}{A}

[A/m²], kde

A je průřez vodiče (přípojnice) [m²].

Určíme hustotu jmenovitého krátkodobého výdržného proudu podle rovnice:

S_{t h r} = \frac{1}{\sqrt{T_{k}}} \cdot \sqrt{\frac{κ_{20} \cdot c \cdot ρ}{α_{20}} . l n \frac{1 + α_{20} \cdot (ϑ_{e} - 20 ℃)}{1 + α_{20} (ϑ_{b} - 20 ℃)}}

[A/m²], kde

ϑ_b je teplota na počátku zkratu, též nejvyšší dovolená provozní teplota [ºC],

ϑ_e je teplota na konci zkratu, též doporučená nejvyšší teplota vodiče při zkratu [ºC],

T_k je doba zkratu [s],

κ₂₀ je měrná elektrická vodivost při 20 ºC [Sm^-1],

α₂₀ je teplotní součinitel odporu [K^-1],

ρ je hustota [kgm^-3].

Hodnoty konstant a činitelů pro různé materiály přípojnic jsou uvedeny v tab. 7.

Tabulka 7. Hodnoty konstant a činitelů pro různé materiály přípojnic pro výpočet tepelných účinků zkratových proudů

	Měď	Hliník, slitina hliníku, lano AlFe	Ocel
κ₂₀ [Sm^-1]	56.10⁶	34,8.10⁶	7,25.10⁶
α₂₀ [K^-1]	0,0039	0,004	0,0045
c [J kg^-1K^-1]	390	910	480
ρ [kgm^-3]	8 900	2 700	7 850
ϑ_b[°C]	80	80	80
ϑ_e[ºC]	200	200	300

Holé vodiče mají potřebnou tepelnou odolnost, jestliže je splněna podmínka:

S \leq S_{t h r} \sqrt{\frac{T_{k r}}{T_{k}}}

[A/m²], kde

S_th je hustota ekvivalentního oteplovacího proudu [A/m²],

T_kr je jmenovitá doba zkratu (1 s),

T_k je skutečná doba zkratu [s],

S_thr je hustota jmenovitého krátkodobého výdržného proudu [A/m²].

2.8.3

Příklad na výpočet účinků zkratových proudů

Příklad

Příklad 3: Posouzení účinků zkratových proudů

Zadání: Posuďte dynamické a tepelné účinky zkratových proudů na přípojnice v rozvodně 22 kV při třífázovém zkratu pro uložení vodičů horizontálně i vertikálně dle obr. 16.

Zkratové proudy I_k^´´ = 40 kA, i_p = 90 kA, doba zkratu T_k = 1 s.

Přípojnice tvoří pásové vodiče ze slitiny AlMgSi0,5 s rozměry 10 x 63 mm. Vzdálenost podpěr l = 1 m, počet rozpětí je větší než 3, osová vzdálenost mezi fázovými vodiči a = 50 cm, součinitel k₁₂ = 1. Minimální hodnota meze průtažnosti je 120 MPa.

Zobrazit řešení

Řešení

Tepelné namáhání:

Nejprve provedeme ověření pro tepelné účinky, protože ty budou stejné v horizontálním i vertikálním uspořádání.

Spočítáme hustotu jmenovitého výdržného krátkodobého proudu (hodnoty příslušných činitelů a konstant vezmeme z tab. 7.

S_{t h r} = \frac{1}{\sqrt{T_{k}}} \cdot \sqrt{\frac{κ_{20} \cdot c \cdot ρ}{α_{20}} . l n \frac{1 + α_{20} \cdot (ϑ_{e} - 20 ℃)}{1 + α_{20} (ϑ_{b} - 20 ℃)}} = \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{\frac{34,8 \cdot 10^{6} \cdot 910 \cdot 2 700}{0,004} . l n \frac{1 + 0,004 \cdot (200 - 20 ℃)}{1 + 0,004 (80 - 20 ℃)}} = 83,62 \cdot 10^{6}

A/m².

Spočítáme ekvivalentní oteplovací proud, předpokládáme m + n = 1.

I_{t h} = \sqrt{m + n} \cdot I_{k}^{´ ´} = 1 \cdot 40 000 = 40 000

Hustota tohoto proudu bude

S_{t h} = \frac{I_{t h}}{S} = \frac{40 000}{0,01 \cdot 0,063} = 63,49 \cdot 10^{6}

A/m².

Porovnáme

S_{t h} \leq S_{t h r} \sqrt{\frac{T_{k r}}{T_{k}}}

Platí, že

63,49 \cdot 10^{6} < 83,62 \cdot 10^{6} \sqrt{\frac{1}{1}}

, což znamená, že dané přípojnice vyhovují tepelnému namáhání při zadaném zkratu.

Dynamické namáhání při vertikálním uspořádání:

Při vertikálním uspořádání bude b = 63 mm, d = 10 mm.

Spočítáme průřezový modul

W_{m} = \frac{b \cdot d^{2}}{6} = \frac{0,063 \cdot {0,01}^{2}}{6} = 1,05 \cdot 10^{- 6}

m³.

Síla mezi vodiči bude

F_{m} = \frac{μ_{0}}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i_{p}^{2} \cdot \frac{l}{a_{m}} = \frac{4 π \cdot 10^{- 7} \cdot \sqrt{3}}{4 π} \cdot {90 000}^{2} \cdot \frac{1}{0,5} = 2 805,92

Ohybové namáhání

σ_{m} = V_{σ} \cdot V_{r} \cdot β \cdot \frac{F_{m} \cdot l}{8 W_{m}} = 1 \cdot 0,73 \cdot \frac{2 805,92 \cdot 1}{8 \cdot 1,05 \cdot 10^{- 6}} = 243,85 \cdot 10^{6}

Pa.

Pro obdélníkový průřez je činitel q = 1,5, tudíž

q \cdot R_{p 0,2} = 1,5 \cdot 120 = 180

MPa.

Porovnáme výsledky dle vztahu

σ_{m} \leq q \cdot R_{p 0,2}

243,85 MPa > 180 MPa, takže je vidět, že dané přípojnice ve vertikálním uspořádání nevyhovují při dynamických účincích zkratu.

Dynamické namáhání při horizontálním uspořádání:

Při vertikálním uspořádání bude b = 10 mm, d = 63 mm.

Spočítáme průřezový modul

W_{m} = \frac{b \cdot d^{2}}{6} = \frac{0,01 \cdot {0,063}^{2}}{6} = 6,615 \cdot 10^{- 6}

m³.

Síla mezi vodiči bude

F_{m} = \frac{μ_{0}}{2 π} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i_{p}^{2} \cdot \frac{l}{a_{m}} = \frac{4 π \cdot 10^{- 7} \cdot \sqrt{3}}{4 π} \cdot {90 000}^{2} \cdot \frac{1}{0,5} = 2 805,92

Ohybové namáhání

σ_{m} = V_{σ} \cdot V_{r} \cdot β \cdot \frac{F_{m} \cdot l}{8 W_{m}} = 1 \cdot 0,73 \cdot \frac{2 805,92 \cdot 1}{8 \cdot 6,615 \cdot 10^{- 6}} = 38,71 \cdot 10^{6}

Pa.

Pro obdélníkový průřez je činitel q = 1,5, tudíž

q \cdot R_{p 0,2} = 1,5 \cdot 120 = 180

MPa.

Porovnáme výsledky dle vztahu

σ_{m} \leq q \cdot R_{p 0,2}

38,71 MPa < 180 MPa, takže je zřejmé, že v horizontálním uspořádání vodiče vyhoví dynamickým účinkům zkratových proudů.

Na tomto příkladu jsme si demonstrovali, že i uspořádání přípojnic má vliv na účinky zkratových proudů.