Náhradní zapojení elementu vedení dle obrázku je v podstatě obvodem se soustředěnými parametry, na který můžeme aplikovat Kirchhoffovy zákony.

Sestavíme rovnici pro smyčku:

$-u\left(x,t\right)+\mathrm{ }R·dx·i\left(x+dx,\mathrm{ }t\right)+\mathrm{ }L·dx·\frac{\partial i(x+dx,t)}{\partial t}+u\left(x+dx,\mathrm{ }t\right)=\mathrm{ }0$ .

Rovnici upravíme do tvaru:

$\frac{u\left(x+dx,\mathrm{ }t\right)-\mathrm{ }u(x,\mathrm{ }t)}{dx}=-\left[R·i\left(x+dx,\mathrm{ }t\right)+\mathrm{ }L·\frac{\partial i(x+dx,t)}{\partial t}\right]$ .

Nalezením limity pro dx → 0 dostaneme následující vztah.

Podobně sestavíme rovnici pro uzel metodou uzlových napětí:

$-i\left(x,t\right)+\mathrm{ }G·dx·u\left(x+dx,\mathrm{ }t\right)+C·dx·\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}+i\left(x+dx,\mathrm{ }t\right)=\mathrm{ }0$ .

Rovnici upravíme do tvaru:

$\frac{i\left(x+dx,\mathrm{ }t\right)-\mathrm{ }i(x,\mathrm{ }t)}{dx}=-\left[G·u\left(x+dx,\mathrm{ }t\right)+\mathrm{ }C·\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right]$ .

Nalezením limity pro dx → 0 dostaneme následující vztah.

Zvýrazněné rovnice označujeme jako základní diferenciální rovnice homogenního vedení. Každá z nich obsahuje proměnné u a i.

Eliminací některé z proměnných získáme výslednou rovnici pro napětí nebo pro proud.

Jestliže např. derivujeme rovnici 1 podle x a rovnici 2 podle t, získáme následující vztahy:

$-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=R·\frac{\partial i}{\partial x}+L·\frac{{\partial }^{2}i}{\partial x\partial t}$ ,

$-\frac{{\partial }^{2}i}{\partial x\partial t}=G·\frac{\partial u}{\partial t}+C·\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$ .

Dosazením za $\frac{\partial i}{\partial x}$ a za $\frac{{\partial }^{2}i}{\partial x\partial t}$ dostaneme po úpravě:

Tato rovnice je nazývána vlnová rovnice pro napětí.

Podobným postupem získáme rovnici:

Tato rovnice je nazývána vlnová rovnice pro proud.

Vlnové rovnice jsou parciální diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, pro jejichž řešení musí být dány tzv. počáteční podmínky. Ty udávají rozložení napětí a proudů podél vedení v čase t = 0. Pro řešení musíme znát ještě tzv. okrajové podmínky, udávající časový průběh napětí a proudu v některém místě vedení (obvykle na začátku nebo na konci vedení).