Komplexní čísla v elektrotechnice

1.1

Operace s komplexními čísly

Dvě komplexní čísla jsou si rovna, jsou-li si rovna jako uspořádané dvojice:

a_{1} + j b_{1} = a_{2} + j b_{2}

, když platí

a_{1} = a_{2}

a také

b_{1} = b_{2}

V množině komplexních čísel

C

jsou deﬁnovány tytéž algebraické operace jako v množině reálných čísel

R

. Pro libovolná komplexní čísla

z_{1} = a_{1} + j b_{1}

z_{2} = a_{2} + j b_{2}

jsou tyto operace deﬁnovány následovně:

Součet komplexních čísel
Při součtu dvou komplexních čísel sčítáme jejich reálné části a také jejich imaginární části. Součet reálných částí je reálnou částí výsledku a součet imaginárních částí je imaginární částí výsledku.
$z_{1} + z_{2} = {(a}_{1} + j b_{1}) + (a_{2} + j b_{2)} = (a_{1} + a_{2}) + j (b_{1} + b_{2})$ (1)

Příklad

Uvedený princip budeme demonstrovat na příkladu.

Sečtěme dvě komplexní čísla

z_{1} = 2 + 3 j

z_{2} = 3 + 4 j

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Součet komplexních čísel tedy bude:

z_{1} + z_{2} = (2 + 3) + j (3 + 4) = 5 + 7 j

Rozdíl komplexních čísel
Při rozdílu dvou komplexních čísel odečítáme jejich reálné části a také jejich imaginární části.
$z_{1} - z_{2} = (a_{1} + j b_{1}) - (a_{2} + j b_{2}) = (a_{1} - a_{2}) + j (b_{1} - b_{2})$ (2)

Příklad

Odečtěme dvě komplexní čísla

z_{1} = 2 + 5 j

z_{2} = 3 + 2 j

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Rozdíl komplexních čísel potom bude:

z_{1} - z_{2} = (2 - 3) + j (5 - 3) = - 1 + 2 j

Součin komplexních čísel
Komplexní čísla násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah $j^{2} = - 1$ .
$z_{1} \cdot z_{2} = {(a}_{1} + j b_{1}) \cdot (a_{2} + j b_{2)} = (a_{1} \cdot a_{2} - b_{1} \cdot b_{2}) + j (a_{1} \cdot b_{2} + a_{2} \cdot b_{1})$ (3)

Příklad

Součin dvou komplexních čísel ukážeme na příkladu pro

z_{1} = 2 + j

z_{2} = 2 + 2 j

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Po roznásobení závorek dostaneme:

z_{1} \cdot z_{2} = (2 + j) \cdot (2 + 2 j) = (4 + j^{2} 2) + (4 j + 2 j) = (4 - 2) + 6 j = 2 + 6 j

Podíl komplexních čísel
Podíl dvou komplexních čísel $z_{1}$ a $z_{2}$ provádíme tak, že násobíme čitatel a jmenovatel komplexně sdruženým číslem jmenovatele:
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{a_{1} + j b_{1}}{a_{2} + j b_{2}} = \frac{(a_{1} + j b_{1}) \cdot (a_{2} - j b_{2})}{a_{2}^{2} - {(j b_{2)}}^{2}}$ (4)

Definice

Dvě komplexní čísla, jejichž reálné složky jsou shodné a imaginární složky jsou čísla opačná, se nazývají čísla komplexně sdružená.

Číslo komplexně sdružené k číslu

z

budeme označovat jako

z^{*}